Примеры

(to do) one's best, (to make) an honest effort - на совесть;
one has to do one's best - нужно делать все возможное /прилагать все усилия/;
to do / try one's best, to try one's hardest - прилагать все старание;
to do one's best /one's utmost, all one can, everything in one's power/ - сделать все возможное, не жалеть сил;
to do one's best according to one's lights - сделать все в меру своих способностей /возможностей/;
to do one's level best - сделать все возможное, сделать все от себя зависящее;
to do one's utmost, to do one's best, to do everything in one's power - сделать все возможное;
to lay oneself out / do all one's best / try hard as one can to please smb. - стараться изо всех сил, из кожи вон лезть, чтобы угодить кому-л.;
to make / exert / strain every effort (to), to do one's utmost (to), to do one's best (to) - прилагать все старания (делать что-л.);
to try / do one's best - стараться изо всех сил разг.;